Forex Black Scholes

O modelo Black-Scholes. Muitas vezes simplesmente chamado Black-Scholes. É um modelo do preço variável ao longo do tempo dos instrumentos financeiros e, em particular, das existências. A fórmula Black-Scholes é uma fórmula matemática para o valor teórico das opções de compra de ações put e call européias que podem ser derivadas das premissas do modelo. A equação foi derivada por Fisher Black e Myron Scholes o papel que contém o resultado foi publicado em 1973. Eles construídos em pesquisa anterior por Paul Samuelson e Robert Merton. O insight fundamental de Black e Scholes foi que a opção de compra é implicitamente preço, se o estoque é negociado. O uso do modelo Black-Scholes e da fórmula é difundido nos mercados financeiros. O modelo Os pressupostos-chave do modelo Black-Scholes são: O preço do instrumento subjacente é um movimento browniano geométrico, em particular com deriva e volatilidade constantes. É possível vender em curto o estoque subjacente. Não há oportunidades de arbitragem sem risco. A negociação das ações é contínua. Não há custos de transação. Todos os títulos são perfeitamente divisíveis (por exemplo, é possível comprar 1 / 100th de uma ação). A taxa de juros livre de risco é constante, e é a mesma para todas as datas de vencimento. Black-Scholes na prática O uso da fórmula de Black-Scholes é difundido nos mercados. Na verdade, o modelo tornou-se parte integrante das convenções de mercado que é prática comum para a volatilidade implícita, em vez de o preço de um instrumento a ser cotado. (Todos os parâmetros do modelo, com exceção da volatilidade - que é o tempo de expiração, a greve, a taxa livre de risco eo pricemdash subjacente atual são inequivocamente observáveis. Isso significa que há uma relação um-para-um entre o preço da opção eo volatilidade.). Traders preferem pensar em termos de volatilidade, uma vez que lhes permite avaliar e comparar opções de diferentes prazos. Greves, etc. Entretanto, o modelo de Black-Scholes não pode modelar o mundo real exatamente. Se o modelo Black-Scholes se mantivesse, então a volatilidade implícita de uma opção em um determinado estoque seria constante, mesmo que a greve e a maturidade variassem. Na prática, a superfície de volatilidade (o gráfico bidimensional de volatilidade implícita contra greve e maturidade) não é plana. De fato, em um mercado típico, o gráfico de greve contra volatilidade implícita para uma maturidade fixa é tipicamente sorridente (ver sorriso de volatilidade). Ou seja, na opção para a qual o preço subjacente e greve co-incide) a volatilidade implícita é menor fora do dinheiro ou no dinheiro a volatilidade implícita tende a ser diferente, geralmente mais elevado No lado posto (batidas baixas) e no lado da chamada (altas batidas). Praticamente, a superfície de volatilidade de um determinado instrumento subjacente depende, entre outras coisas, de sua distribuição histórica e é constantemente reformulada à medida que os investidores, os criadores de mercado e os arbitragistas reavaliam a probabilidade de o subjacente atingir uma determinada greve e o risco - Recompensa associada a ele. Options Preço: Modelo de Black-Scholes O modelo de Black-Scholes para calcular o prêmio de uma opção foi introduzido em 1973 em um artigo intitulado, O Preço de Opções e Passivos Corporativos publicado no Journal of Political Economy. A fórmula, desenvolvida por três economistas Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivados (o Prêmio Nobel não é dado póstumo no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel dos Negros no Negro - Scholes modelo). O modelo Black-Scholes é usado para calcular o preço teórico das opções de compra e venda européias, ignorando quaisquer dividendos pagos durante a vida útil das opções. Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha levado em consideração os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo pode ser adaptado para contabilizar dividendos, determinando o valor ex-dividendo da ação subjacente. O modelo faz certas suposições, incluindo: As opções são europeias e só podem ser exercidas no vencimento Não há dividendos pagos durante a vida da opção Mercados eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos) Sem comissões A taxa livre de risco ea volatilidade de O subjacente é conhecido e constante Segue uma distribuição lognormal que é, os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos. A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis: Preço subjacente atual Preço de exercício das opções Tempo até o vencimento, expresso em percentual de um ano Volatilidade implícita Taxas de juros livres de risco Figura 4: Opções. O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1). Multiplica o preço pela variação do prémio de compra em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente diretamente. A segunda parte, N (d2) Ke (-rt). Fornece o valor atual do pagamento do preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes aplica-se a opções européias que são exercíveis somente no dia de vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação. A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, no entanto, os comerciantes e investidores não precisam saber ou mesmo entender a matemática para aplicar Black-Scholes modelagem em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os operadores de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas de análise de opções robustas, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora Black-Scholes online é mostrado na Figura 5, o usuário deve inserir todas as cinco variáveis ​​(preço de exercício, preço da ação, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco). Figura 5: Uma calculadora Black-Scholes online pode ser usada para obter valores para chamadas e puts. Os usuários devem inserir os campos obrigatórios ea calculadora faz o resto. Calculadora de cortesia tradingtodayFor opções sobre outros instrumentos financeiros de ações, temos de permitir que o fato de que o subjacente pode ter pagamentos durante a vida da opção. Por exemplo, ao trabalhar com opções de commodities, há muitas vezes alguns custos de armazenagem se se quisesse proteger a opção comprando o subjacente. O caso mais simples é quando os pagamentos são feitos de forma contínua. Para valorizar uma opção européia, um simples ajuste à fórmula Black Scholes é tudo o que é necessário. Let Ser o pagamento contínuo da commodity subjacente. Os preços de compra e venda para opções europeias são então dados pela fórmula 8.1. Que são implementadas no código 8.1. Um caso especial de pagamentos para o subjacente é dividendos. Quando o subjacente paga dividendos, a fórmula de precificação é ajustada, porque o dividendo altera o valor do subjacente. O caso de dividendos contínuos é mais fácil de lidar. Corresponde aos pagamentos contínuos que examinamos anteriormente. O problema é o fato de que a maioria dos dividendos são pagos em datas discretas. Para ajustar o preço de uma opção européia para dividendos conhecidos, simplesmente subtrai o valor presente dos dividendos do preço atual do ativo subjacente no cálculo do valor de Black Scholes. Opções americanas são muito mais difíceis de lidar do que as europeias. O problema é que pode ser ótimo usar (exercer) a opção antes da data final de validade. Essa política de exercício ideal afetará o valor da opção e a política de exercícios deve ser conhecida na resolução do pde. Portanto, não há soluções analíticas gerais para as opções de compra e venda americanas. Há alguns casos especiais. Para as opções de compra americanas em ativos que não têm nenhum pagamento, o preço de compra americano é o mesmo que o europeu, uma vez que a política de exercício ideal é não exercer. Para a American Put não é este o caso, pode pagar para exercê-los cedo. Quando o activo subjacente tem pagamentos, também pode pagar para exercer a opção antecipadamente. Há um conhecido preço analítico conhecido para as opções de compra americanas, que é o caso de uma chamada em uma ação que paga um dividendo conhecido, que é discutido a seguir. Em todos os outros casos, o preço americano tem que ser aproximado usando uma das técnicas discutidas em capítulos posteriores: Aproximação binomial, solução numérica da equação diferencial parcial, ou outra aproximação numérica. Quando uma ação paga dividendos, uma opção de compra sobre o estoque pode ser otimamente exercida pouco antes do estoque vai ex-dividendo. Enquanto o problema do dividendo geral é geralmente aproximado de alguma forma, para o caso especial de um pagamento de dividendos durante a vida de uma opção de uma solução analítica está disponível, devido à Roll-Geske-Whaley. Se deixarmos ser o preço das ações, o preço de exercício, o montante do dividendo pago, o tempo de pagamento do dividendo, a data de vencimento da opção, encontramos Uma primeira verificação do exercício inicial é: Se essa desigualdade é cumprida, o exercício precoce não é Ideal, eo valor da opção é onde está a fórmula de Black Scholes regular. Se a desigualdade não for cumprida, um executa o cálculo mostrado na fórmula 8.2 e implementado no código 8.3 Opções sobre futuros Modelo Blacks Para uma opção europeia escrita em um contrato de futuros, usamos um ajuste da solução Black Scholes, que foi desenvolvido em preto (1976). Essencialmente nós substituímos com na fórmula Black Scholes, e obter a fórmula mostrada em 8.3 e implementado no código 8.4. Opções de moeda estrangeira Outro ajuste relativamente simples da fórmula Black Scholes ocorre quando o título subjacente é uma taxa de câmbio (taxa spot). Neste caso, ajusta-se a equação de Black-Scholes para o diferencial de juros. Let Ser a taxa de câmbio à vista, e agora deixe ser a taxa de juros interna ea taxa de juros externa. É então a volatilidade das mudanças na taxa de câmbio. O cálculo do preço de uma opção de compra europeia é então mostrado na fórmula 8.4 e implementado no código 8.5. Uma opção perpétua é uma sem data de vencimento, é inifinitely vivida. Naturalmente, apenas as opções americanas perpétuas fazem qualquer sentido, as opções perpétuas européias provavelmente seriam difíceis de vender. 8. 1 Para fórmulas analíticas tanto put e calls foi desenvolvido. Consideramos o preço de uma chamada americana, e discutimos a colocação em um exercício. A Fórmula 8.5 dá a solução analítica. Uma primeira formulação de um preço analítico de chamada com dividendos foi em Roll (1977). Isto teve alguns erros, que foram parcialmente corrigidos em Geske (1979). Antes de Whaley (1981) dar uma fórmula final, correta. Veja Hull (2003) para um resumo do livro-texto. Black (1976) é o desenvolvimento original da opção de futuros. As formulações originais dos preços das opções em moeda estrangeira europeia estão em Garman e Kohlhagen (1983) e Grabbe (1983). O preço de uma posse perpétua foi mostrado pela primeira vez em Merton (1973). Para uma chamada perpétua ver McDonald e Siegel (1986). A notação aqui segue o resumo em (McDonald, 2002. pg. 393).